Bemerkungen über die Ableitungsmatrix und Deren Invarianten [antikvár]

IV. BEMERKUNGEN ÜBER DIE ABLEITUNGSMATRIX UND DEREN INVARIANTEN F. Fazekas 1. Vorbemerkungen Bekanntlich spielen in der Beschreibung von Naturerscheinungen, technischen Vorgängen die mit div p, rot p, grad u, /\u bezeichneten partiellen Ableitungsansdrücke eine wichtige Rolle. Dementsprechend kommt einer Definition dieser Ableitnngsausdrücke, die gegenüber der Wahl des Koordinatensystems in\'aiiant und zugleich zur phj^sikalischen Veranschaulichung geeignet ist, grosse Bedeutung zu. Die bekannteren Lehr- und Handbücher geben auch in der Regel jene spezifischen (auf die Flächen-, Raumeinheit bezogenen) Integrale an, die im Grenzübergang diese Ableitungsausdrücke ergeben; dass aber diese Grenzwerte tatsächlich und auf invarianter Weise zu diesen Ableitungsausdrücke führen, wird in diesen Büchern zumeist mit übermässig vereinfachten. spezialen, mangelhaften Mitteln, und was am meisten auffällt, grösstenteils ohne Vektoranalyse bewiesen. Diese Fragen sollen hier einheitlich und mit modernen Mitteln behandelt und zusammengefasst werden, davon ausgehend, dass die divp, rot p, bzw. Am zugleich die Invarianten der Matrix für den Ableitungstensor D = dp/rfr bzw. G = dHjdr'^ sind, grad u hingegen der invariante Ableitungsvektor g = dujdT selbst ist. 2. Die div p, rot p, als Invarianten von D 1°. Der Zuwachs der differenzierbaren Vektor-Vektorfunktion p = p(r) kann bekanntlich in der Form p . - p = 4 p = D (r) A r + E (r, A r) A r , lim E (r, A r) = 0 (1 a) dargestellt werden; ist dieser Zuwachs klein, d. h. |zlr| = dann kann geschrieben werden*: Apf^p.-p = iip = Ddr (Er^O), D=-^. (Ih) dr * Die Bezeichnung D = rfp/rfr ist üblich, obwohl die Division durch einen Vektor nicht erklärt ist und somit D nicht als Quotient von Differentialen betrachtet werden kann. 29