Matematika IV. [antikvár]

I. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK, DIFFERENCIÁLEGYENLETRENDSZEREK E fejezet elején először is a műszaki tudományok egyes elméleti vonatkozású területein is felhasználásra kerülő geometriai, fizikai, műszaki mechanikai, kémiai törvények köréből mutatunk be oly egyszerű problémákat, amelyek matematikai megfogalmazásban differenciálegyenletekhez vezetnek. Ezt követően rendszeresebb jelleggel kívánjuk tárgyalni a közönséges differenciálegyenleteket és néhány nevezetesebb differenciálegyenletrendszert, beleértve ezek megoldására szolgáló gyakorlati megoldási módszereket is. A tárgyalás megkezdése eló'tt azonban álljon még itt néhány vázlatos történeti megjegyzés. A közönséges cüfferenciálegyenletek elméletének kialakulása a XVIII, században indul el. Ekkor kezd növekedni az igény a természeti törvények alkalmazására az ipari fejlődés révén. A természeti törvényeket viszont általában éppen differenciálegyenletekre vezető, tehát differenciálokat vagy differenciálhányadosokat tartalmazó összefüggések fejezik ki. A következő pontban példákon bemutatásra kerülő differenciális összefüggések az okság elvének, az ok és az okozat összefüggésének kifejezői különleges matematikai alakban. Különösen jelentősek azok az esetek, amelyekben az egyik fizikai mennyiségnek (az oknak) kicsiny megváltozása a másik fizikai mennyiségnek (mint okozatnak) lineáris (kicsiny) megváltozását eredményezi. Ez a tény magyarázza az un. lineáris differenciálegyenletek oly kiemelkedő fontosságát az alkalmazások területén. Az első kutatók - Clairaut, Bernoulli, Lagrange, Euler, Riccati, D'AIam-bert és Laplace neve emelhető ki - éppen oly egyszerűbb e^tek megoldását tűzték ki célul, amelyek elsősorban mechanikai problémákhoz Éapcsolódtak. A XEX. század folyamán alakul ki az átfogó elmélet Jacobi, Abel, Cauchy, Gauss, Bőssel, Fuchs, Picard, Mathieu, Halphen, Poincaré, Lie és még sok más neves matematikus kutatásai nyomán. A fellépő gyakorlati problémák ekkor már kiterjednek a modern fizika csaknem minden területére, tehát széleskörű műszaki vonatkozásaik is vannak. Jelen századunkban pedig - éppen az alkalmazási tertüe-tek nagyarányú kiterjedése folytán - a gyakorlati megoldási módszerek (numerikus, grafikus, gépi-el jár ások) területén születtek meg nagyfontosságú eredmények.